浮点数处理

浮点数表达

IEEE754标准是用于规范浮点数运算的IEEE标准,用于解决浮点数标准混乱的问题。其被认证后不久,几乎所有的处理器生产商都采用这一标准,极大的推动了软件的发展。浮点数存储的格式如下:

浮点数由符号位,指数位和尾数三个部分组成,表达公式如下式:

在IEEE754标准中,主要规定了单精度浮点(float)和双精度浮点(double)两种浮点数:

类型 符号位数 指数位数 尾数位数
单精度浮点(float) 1 8 23
双精度浮点(double) 1 11 52

首先考虑符号位,当该符号位为0时,表示该数为正数,符号位为1时,表示该数为负数。指数可以为负数,一般使用移码表示,移码表示为:

E为真实的指数,e为浮点数中存储的尾数,bias为移位,有$bias = 2^{len(e) - 1} - 1$。以单精度浮点为例,指数位数$len(e) = 8$,则有bias=127,真实指数和存储的关系为$E = e - 127$,表示范围为-126~127(e=0和e=255用于表示特殊字符)。尾数为规格化的尾数,即尾数的二进制表示$f_b$前有一个隐藏的二进制1,即如下表示:

当e=0时,该浮点数为非规格化数,表示的数如下所示:

该标准内还定义了几个特殊值:

特殊值 说明
0 指数部分和尾数部分均为1
无穷大 指数部分为$2^{len(e)} - 1$(指数最大值),尾数部分为0
NaN 指数部分为$2^{len(e)} - 1$(指数最大值),尾数部分不为0

浮点数计算

浮点数乘法

浮点数的乘法分为以下几个步骤:

  • 计算符号位:通过异或操作计算符号位,若两个操作数符号位相同,则结果符号位为0,否则结果符号为1
  • 计算原始尾数:两个操作数的尾数相乘,得到原始尾数
  • 计算原始指数:将两个操作数的指数相加,得到原始指数
  • 规格化与舍入:对原始尾数和原始指数进行规格化,获得结果的指数,再对尾数进行舍入,获得结果的尾数

对于科学计数法表示的乘法,有:

现考虑32位的单精度浮点数(float),其指数为8位,尾数为23位,获得原始指数和原始尾数为:

  • 原始指数:原始指数为两个8位的指数相加,共9位
  • 原始尾数:原始尾数为两个23位的尾数相乘,共46位

获得原始指数和尾数后进行规格化,若原始指数小于-126,则小于表示范围,将原始尾数右移,每右移一位,原始指数+1,直到原始指数到达-126,此时形成非规格化数。若原始尾数不小于-126,进行正常的标准化:

  • 两个规格化数相乘:$1.f_1 \times 1.f_2$,结果在1~4之间,即最高2位有以下几种可能性:
    • 最高2位为01:原始尾数向左移位2位(包括移除隐含的1),原始指数直接为获得规格化的指数,小数部分还剩44位,在舍入部分处理。若原始指数-2后为-127,则在移位后尾数前添加1,使用非规格化表示
    • 最高2位为1011:原始尾数向左移位1位(移除隐含的1),原始指数+1获得规格化的指数,小数部分还剩45位,在舍入部分处理。
  • 非规格数和规格化相乘:$1.f_1 \times 0.f_2$,结果在0~2之间,操作方式与上述类似
  • 非规格化数和非规格化数相乘:原始指数为-252,尾数部分仅有46位,无论如何都不可能使指数规格化到-126,直接为0

进行规格化后,原始指数被修正为指数$e_3$,此时若尾数的位数超过23位,还需要进行舍入操作。将规格化后的尾数使用$sf$表示,$sf[h:h-23]$表示高23位的指数,$sf[h-24:0]$表示24位以后尾数。舍入使用“四舍六入”的方式,舍入规则如下所示:

  • 若$sf[h-24:0] < 1000…0$:抛弃,舍入结果为$sf[h:h-23]$(四舍)
  • 若$sf[h-24:0] > 1000…0$:进位,舍入结果为$sf[h:h-23]+1$(六入)
  • 若$sf[h-24:0] == 1000…0$:舍向偶数,即使$sf[h:h-23]$变为偶数($sf[h:h-23]$为奇数时进位,否则抛弃)

进行舍入后,原始尾数被修正为尾数$f_3$,乘法计算完成。

浮点数加法

浮点数的加法分为以下几个步骤:

  • 对阶:将指数较小的浮点数进行尾数向右移位,指数同步增大,直到两个操作数的指数等
  • 求和:对尾数进行求和
  • 规格化:对指数和尾数做规格化,并对尾数进行舍入

对于科学计数法表示的加法,有:

第一步为对阶,即将指数变为相同以实现加法,规定小阶向大阶对阶,即原始指数$e=\max\{e_1,e_2\}$,对于指数较小的操作数,需要将尾数向右移位,每移动一位,指数加1,移位直到阶数相等即完成对阶,对阶过程可表示为:

第二步为求和,即对阶完成后,两个尾数可以直接求和获得原始尾数,求和过程如下所示:

第三步为规格化和舍入,原始尾数$f = (-1)^{s_1} \times 1.f_1 \times 2^{e_1 - \max\{e_1,e_2\}} + (-1)^{s_2} \times 1.f_2 \times 2^{e_2 - \max\{e_1,e_2\}}$,原始指数$e=\max\{e_1,e_2\}$,对其进行规格化和舍入操作,获得新的指数$e_3$和尾数$f_3$,操作方式与乘法相同,即完成浮点数的加法。